Расми 3. Квадрати тарафаш a + b: чор секунҷаи росткунҷаи баробар ва чоркунҷаи PQRS дар дарун.
△KPS,△LQP,△MRQ,△NSR кунҷи рост (кунҷи квадрат) ва катетҳои a ва доранд —
Натиҷа
Аз c2=a2+b2 ҳосил мешавад:
Бештар омӯзед
Теоремаи баръакс. Агар дар секунҷа c2=a2+b2 бошад, секунҷа росткунҷа аст ва кунҷи рост муқобили тарафи меистад.
Оё медонед?
Теорема ба номи Пифагор (асри VI то милод, Юнони Қадим) гузошта шудааст, аммо хосияти секунҷаи росткунҷа пеш аз ӯ низ маълум буд: масалан, дар лавҳаҳои гилини Бобул ва дар китобҳои қадимаи Чин. Мегӯянд, ки ресмони 3–4–5 дар Мисри Қадим низ ба кор мерафт.
худро санҷ1 хол
Гипотенузаи секунҷаи росткунҷа аз ҳар катети он дарозтар аст.
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
худро санҷ1 хол
Катетҳои секунҷаи росткунҷа 7 см ва 24 см мебошанд. Гипотенузаро ёбед (бо сантиметр).
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
худро санҷ1 хол
Гипотенузаи секунҷаи росткунҷа 17 дм, яке аз катетҳо 8 дм аст. Катети дуюмро ёбед (бо дециметр).
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
худро санҷ1 хол
Дар △KMN кунҷи M рост аст. Кадом баробарӣ дуруст аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
b
аз сохтан.
Ҳар яке аз онҳо ба △ABC баробар аст — аломати якум (т–к–т): ду катет ва кунҷи рости байни онҳо.
Пас PS=QP=RQ=SR=AB=c — аз баробарии секунҷаҳо.
Бигзор ∠KPS=α,∠KSP=β. Дар △KPS кунҷи K рост аст, пас α+β=90∘ — суммаи кунҷҳои секунҷа.
△LQP=△KPS (қадами 2), пас ∠LPQ=∠KSP=β — аз баробарии секунҷаҳо.
Нуқтаҳои K,P,L дар як хати рост ётанд, пас α+∠SPQ+β=180∘ — кунҷи ёзида. Аз ин ҷо ∠SPQ=180∘−(α+β)=90∘.
Дар Q,R,S айнан ҳамин ҳисоб: дар ҳар яки онҳо дар як тараф секунҷаи бо кунҷи α ва дар тарафи дигар секунҷаи бо кунҷи β мехобад. Пас ҳар чор кунҷи PQRS рост аст.
PQRS — тарафҳояш баробар (c) ва ҳамаи кунҷҳояш рост, яъне квадрат ва S(PQRS)=c2 — таърифи квадрат.
Масоҳати KLMN ба (a+b)2 баробар аст. Аз тарафи дигар, он ба суммаи масоҳатҳои PQRS ва чор секунҷа баробар аст: c2+4⋅21ab=c2+2ab — хосияти масоҳат.
a2+2ab+b2=c2+2ab, пас c2=a2+b2.
c=a2+b2,a=c2−b2,b=c2−a2.
Гипотенуза аз ҳар катет дарозтар аст: c2=a2+b2>a2, пас c>a ва ҳамин тавр c>b.
c
Исбот: секунҷаи росткунҷаро бо катетҳои a ва b месозем. Гипотенузаи он a2+b2=c. Ду секунҷа се тарафи баробар доранд, пас баробаранд — аломати сеюм (т–т–т) — ва секунҷаи додашуда низ росткунҷа аст. ∎
Барои ресмони дарс: 32+42=9+16=25=52, пас дар байни тарафҳои 3 ва 4 кунҷи рост ҳосил мешавад.
N2
KM2=KN2+MN2
KN2=KM2+MN2
KN=KM+MN
1
ab
Кунҷҳои чоркунҷаи дарунӣ ба 180∘−(α+β)=90∘ баробаранд, пас он квадрат бо масоҳати c2 аст
Квадрати тарафаш a+b-ро месозем ва дар ҳар тараф порчаҳои a ва b-ро ҷудо мекунем
Чор секунҷаи росткунҷаи гӯшаҳо бо катетҳои a ва b баробаранд (т–к–т), пас тарафҳои чоркунҷаи дарунӣ ҳама ба c баробаранд
Қавсро кушода ва 2ab-ро ихтисор карда, ҳосил мекунем: c2=a2+b2
