35 · 2/2. Хосиятҳои дараҷаи нишондиҳандааш ратсионалӣ - Алгебра — синфи 9
Хосиятҳо
Хосиятҳои 1, 3 ва 4-ро исбот мекунем. Бигзор r=nm, s=qp ки дар онҳо — бутун ва — натуралиянд. Азбаски қимати дараҷа аз навишти нишондиҳанда вобаста нест, ҳарду касро ба маҳраҷи умумии меорем.
навбатӣТакрор ва санҷиш: фаслҳои 34–35 · 1/3. Решаҳо ва дараҷаҳо
1 соат
,
Исботи хосияти 1. Бо таъриф ва хосиятҳои решаҳо:
ar⋅as=nam⋅qap=nqamq⋅nqanp=nqamq+np=anqmq+np=anm+qp=ar+s. Исботи хосияти 3. Барои p>0 (барои p≤0 ҳамин тавр, бо x−k=xk1):
(ar)s=q(nam)p=qnampnqamp=anqmp=ars. (ab)r=n(ab)m=nambm=nam⋅nbm=ar⋅br. Хосияти 2 аз хосияти 1 бармеояд: ar=a(r−s)+s=ar−s⋅as, ва ҳарду тарафро ба as тақсим мекунем. Хосияти 5 ба монанди хосияти 4 исбот мешавад.
Мисоли 3. Қимати ифодаи (440⋅21/4):5−3/4-ро меёбем.
Ҳал. Тақсим ба 5−3/4 — зарб ба 53/4 аст:
(440⋅21/4):5−3/4=423⋅5⋅21/4⋅53/4=23/4⋅51/4⋅21/4⋅53/4=243+41⋅541+43=2⋅5=10. Мисоли 4. Ифодаҳоро табдил медиҳем (барои a>0, b>0):
а) a1/4+b1/4a1/2−b1/2;б) a0,8+a0,4⋅b0,7+b1,4a. Ҳал. а) Ҳосили зарби ду фарқро ба кор мебарем:
a1/4+b1/4a1/2−b1/2=a1/4+b1/4(a1/4)2−(ba1/4+b1/4(a1/4−b1/4)(aa1/4−b1/4. б) Ишора мекунем: x=a0,4, y=b0,7. Он гоҳ a1,2=x3, b2,1=y3, a0,8=x2, b1,4=y2, ва формулаи фарқи кубҳо x3−y3=(x−y)(x2+x истифода мешавад:
x2+xy+y2x3−y3=x2+xy+y2(x−y)(x2+xy+yx−y=a0,4−b0,7. Муқоиса кардани дараҷаҳо
Исботи хосияти 6. Бигзор r=nm>0, яъне m≥1. Аз 0<a<b барои бутунии мусбат am<bm бармеояд, ва аз хосияти 6-и решаҳо nam<n яъне ar<br. Агар r<0 бошад, a−r<b−r (нишондиҳанда −r>0), ва барои ададҳои мусбат аз a−r<b−r бармеояд a−r1>b−r яъне ar>br.
Исботи хосияти 7. Бигзор t=r−s>0. Аз хосияти 6 барои ададҳои 1 ва a мегирем: агар a>1, пас 1t<at, яъне at>1; агар 0<a<1, пас at<1t=1. Мувофиқи хосияти 1: ar=as⋅at. Азбаски as>0, ҳангоми a>1 дорем ar>as, ва ҳангоми 0<a<1 дорем ar<as.
Мисоли 5. Ададҳои 58 ва 22/3-ро муқоиса мекунем.
Ҳал. 58-ро ба намуди дараҷаи нишондиҳандааш ратсионалӣ менависем: 58=81/5=(23)1/5=23/5. Азбаски 32>53 (10>9) ва асос 2>1, аз хосияти 7 мегирем: 22/3>58.
Мисоли 6. Ададҳои 2300 ва 3200-ро муқоиса мекунем.
Ҳал. Ҳарду ададро бо нишондиҳандаи умумии 100 менависем:
2300=(23)100=8100,3200=(32)100=9100. Азбаски 8<9, аз хосияти 6 бармеояд: 8100<9100, яъне 2300<3200.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Кадоме аз ададҳои зерин калон аст:
- а) 733 ё 319/43;
- б) (21)5/3 ё 7
- в) (21)−5/7 ё 2
2. Қимати ифодаи ададиро ёбед:
- а) 81/2:(81/6⋅93/2);
- б) (1256272)2/9.
Дар хона
3. Барои a>0, b>0 сода кунед:
- а) (a2/5)5/4⋅a1/2;
- б) (a1/3b1/2)6;
- в) a5/6:a1/3⋅a1/6.
4. Ифодаро табдил диҳед (a>0, b>0, x>0):
- а) (a1/2+b1/2)(a1/2−b1/2);
- б) (x1/3−1)(x2/3+x1/3+1
- в) a1/2+b1/2a−b.
5. Ададҳоро муқоиса кунед:
- а) 51/2 ва 52/3;
- б) (31)1/2 ва (31)3/4;
- в) 2150 ва 3100.
- а) 632⋅21/6;
- б) 181/2:21/2;
- в) (21/2)4⋅2−1.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–6.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 35 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Барои a>0 ва r=nm: am/n=nam; 0r=0 барои r>0. Асоси манфӣ иҷозат дода намешавад.
- Қимати ar аз навишти r вобаста нест (nm=) ва ҳамеша мусбат аст.
- Хосиятҳо: aras=ar+s, a
- Муқоиса: 0<a<b⇒ (r>0: ar<b
Дар ин дарс
- Ман медонам хосиятҳои дараҷаи нишондиҳандааш ратсионалӣ (ҷамъ, тарҳ, зарб, тақсим, дараҷа ба дараҷа) ва исботи онҳоро.
- Ман метавонам ифодаҳои дараҷадорро сода ва табдил диҳам ва қиматашонро ёбам.
- Ман метавонам дараҷаҳоро муқоиса кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Қимати 271/3 ва 163/4-ро ёбед.
- Дараҷаи a5/2-ро ҳамчун реша нависед (a>0).
- Барои асоси a>1 кадом калон аст: a2 ё a3? Ва барои 0<a<?
Ҷавобҳо
- 3 ва 8. 2) a5. 3) (); ().
Хосиятҳои дараҷа бо нишондиҳандаи ратсионалӣБарои ададҳои ратсионалии r, s ва ададҳои мусбати a, b:
- ar⋅as=ar+s;
- ar:as=ar−s;
- (ar)s=ars;
- (ab)r=ar⋅br;
- (ba)r=br
Хосиятҳои 6 ва 7
- Бигзор 0<a<b ва r — адади ратсионалӣ. Агар r>0, пас a агар пас
Калимаҳои калидӣдараҷаи нишондиҳандааш ратсионалӣасоси дараҷанишондиҳандаи дараҷанишондиҳандаи каср
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро барои асоси манфӣ дараҷаи нишондиҳандааш ратсионалӣ муайян намешавад? Кадом хосият ба шумо дар муқоисаи 2300 ва 3200 кумак кард?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман метавонам a-ро ба реша ва решаро ба дараҷа табдил диҳам.
Барои a>0 сода кунед: a1/2⋅a1/3.
Як ҷавобро интихоб кунед Кадом адад калон аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
=
1,2
−
b2,1
1/4
)
2
=
1/4
+
b1/4
)
=
y
+
y2)
2
)
=
,
1
,
321
;
⋅
23/14.
)
;
nk
mk
r
:
as=
ar−s,
(ar)s=ars, (ab)r=arbr, (ba)r=brar. r
;
r>s⇒
1
a3>a2
ar
.
r
<
br;
Бигзор r>s ва a>0. Агар a>1, пас ar>as; агар 0<a<1, пас ar<as. m/n
Ман хосиятҳои дараҷаро бо нишондиҳандаи ратсионалӣ медонам ва истифода мебарам.Ман метавонам дараҷаҳоро бо асосҳо ва нишондиҳандаҳои гуногун муқоиса кунам.1/6