34 · 1/2. Решаи дараҷаи n-ум

Решаи дараҷаи $n$-ум

Решаи квадратӣ аз адади $a$ — адади квадраташ ба $a$ баробар. Решаи дараҷаи $n$-ум низ айнан ҳамин тавр муайян мешавад, фақат ба ҷойи дараҷаи дуюм дараҷаи $n$-ум меояд. Дар ин ҷо $n$ — адади натуралии аз $1$ калон.

Мисоли 1. Решаи дараҷаи сеюм аз $125$ ба $5$ баробар аст, чунки $5^3 = 125.$ Ададҳои $2$ ва $-2$ решаҳои дараҷаи шашум аз $64$ мебошанд, чунки $2^6 = 64$ ва $(-2)^6 = 64.$

Пас, решаҳои дараҷаи $n$-ум аз адади $a$ — ин ҳалҳои муодилаи $x^n = a.$ Барои фаҳмидани он, ки чанд ҳал вуҷуд дорад, функсияи $y = x^n$-ро мебинем. Расми 1 нишон медиҳад: ҳалҳои — абсиссаҳои нуқтаҳои буриши графики бо хати рости уфуқии

Маълум аст, ки дар фосилаи $[0;\ \infty)$ функсияи $y = x^n$ барои ҳар $n$ меафзояд ва ҳамаи қиматҳои аз фосилаи $[0;\ \infty)$-ро қабул мекунад. Аз ин рӯ ба тасдиқоти маълуми зерин такя мекунем (мо онро бе исбот қабул мекунем):

Аз ин бармеояд: барои ҳар $a \ge 0$ муодилаи $x^n = a$ дар $[0;\ \infty)$ расо як реша дорад, ва ин реша ғайриманфӣ аст. Онро бо $\sqrt[n]{a}$ ишора мекунанд.

Решаи дараҷаи дуюмро решаи квадратӣ меноманд ва нишондиҳандаи $2$-ро намеменависанд: $\sqrt{5}.$ Решаи дараҷаи сеюмро решаи кубӣ меноманд.

Мисоли 2. Решаҳои арифметикии $\sqrt[3]{27}$ ва $\sqrt[4]{\dfrac{81}{16}}$-ро меёбем.

Ҳал. а) $\sqrt[3]{27} = 3,$ чунки $3^3 = 27$ ва б) чунки ва

Нишондиҳандаи ҷуфт

Барои $n$-и ҷуфт функсияи $y = x^n$ ҷуфт аст: $(-x)^n = x^n.$ Пас, агар реша бошад, низ реша аст.

Мисоли 3. Муодилаи $x^4 = 81$ ду реша дорад: $3$ ва $-3.$ Ду решаи дараҷаи чорум аз $81$ вуҷуд дорад, вале решаи арифметикӣ як адад аст: $\sqrt[4]{81} = 3.$

Нишондиҳандаи тоқ

Барои $n$-и тоқ функсияи $y = x^n$ дар тамоми хати рости ададӣ меафзояд ва ҳамаи қиматҳоро қабул мекунад. Бо ҳамон тасдиқот мебинем: муодилаи $x^n = a$ барои ҳар $a,$ аз ҷумла манфӣ, расо як реша дорад. Онро низ бо менависанд.

Исбот. $\left(-\sqrt[n]{a}\right)^n = (-1)^n \cdot \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = -1 \cdot a = -a$ (азбаски тоқ аст), яъне — решаи дараҷаи аз Чунин реша ягона аст, пас

Масалан, $\sqrt[5]{-25} = -\sqrt[5]{25},$

Барои ҳар $x$ дуруст аст:

Масалан, $\sqrt[4]{(-3)^4} = \sqrt[4]{81} = 3 = |-3|,$ вале

Мисоли 4. Муодилаҳои $x^5 = -13$ ва $x^8 = 9$-ро ҳал мекунем.

Ҳал. Мувофиқи таъриф $x$ — решаи дараҷаи панҷум аз $-13.$ Нишондиҳанда $5$ тоқ аст, пас чунин реша вуҷуд дорад ва ягона аст: $x = \sqrt[5]{-13} = -\sqrt[5]{13}.$

Барои $x^8 = 9$ ҳал $x = \sqrt[8]{9}$ аст. Азбаски ҷуфт аст, низ ҳал аст. Пас Ин ҷавобро соддатар кардан мумкин: яъне

Ҷавоб: $x = -\sqrt[5]{13};$ $x = \pm\sqrt[8]{9}.$

Кор дар синф

Машқҳо

Дар синф

1. Ҳаққонӣ будани баробарии зеринро санҷед:

• а) $\sqrt[4]{16} = 2;$
• б) $\sqrt[3]{-1} = -1;$

2. Ҳисоб кунед:

• а) $\sqrt[3]{27};$
• б) $\sqrt[5]{-32};$

Дар хона

3. Муодиларо ҳал кунед:

• а) $x^3 = 4;$
• б) $x^3 + 4 = 0;$
• в) $x^4 = 10;$

Вазифаи хонагӣ

• Машқи 3.
• Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 34 дар охири дарси дуюм аст.