1 соат
Теоремаро аввал барои шашкунҷа исбот мекунем, баъд барои -кунҷаи дилхоҳ. Ҳамаи исботҳо барои бисёркунҷаи барҷаста мебошанд: тақсимкуниҳо бо диагоналҳо ва порчаҳо дар дохили он ҷой мегиранд (дарси 2.1–2.3).
Маълум: — шашкунҷаи барҷаста.
Матлуб:
Исбот.
Теорема барои шашкунҷа исбот шуд. ∎
Акнун -кунҷаи барҷастаи дилхоҳро мегирем. Дар дохили он нуқтаи -ро интихоб мекунем ва онро ба ҳамаи қуллаҳо мепайвандем.
Исбот (барои -кунҷа).
Теорема исбот шуд. ∎
Мисоли 1. Кунҷи бисёркунҷаи мунтазами -кунҷаро ёбед.
Ҳамаи кунҷи бисёркунҷаи мунтазам баробаранд, пас ҳар кунҷ ба баробар аст.
Масалан, барои шашкунҷаи мунтазам:
Агар суммаи кунҷҳои бисёркунҷаи ғайримунтазам маълум бошад, танҳо як кунҷи онро ёфтан мумкин нест: дигар кунҷҳо бояд маълум бошанд.
Кунҷи ба кунҷи дохилии бисёркунҷа ҳамсоя кунҷи берунии он ном дорад. Он ба кунҷи дохилӣ то илова мешавад. Мо дар ҳар қулла як кунҷи берунӣ мегирем.
Исбот.
Теорема исбот шуд. ∎
Ин ҳамон чизест, ки гирди бисёркунҷа гаштан медиҳад: дар ҳар қулла ба андозаи кунҷи берунӣ мегардем ва дар охир як гардиши пурраро () анҷом медиҳем.
Дар синф
1. Теоремаи суммаи кунҷҳои берунии бисёркунҷаро барои шашкунҷа ва ҳафткунҷа исбот кунед.
2. Агар суммаи кунҷҳои -кунҷа маълум бошад, як кунҷи онро чӣ тавр меёбанд?
3. Аз рӯи формулаи суммаи кунҷҳои а) секунҷа; б) чоркунҷа; в) панҷкунҷа; г) даҳкунҷа; ғ) 100-кунҷаро ҳисоб кунед.
Дар хона
4. Исботи теоремаро барои панҷкунҷа ва ҳашткунҷа иҷро кунед.
5. Исботи теоремаро барои чоркунҷа иҷро кунед.
6. Дар дохили бисёркунҷаи барҷаста нуқтае интихоб кунед ва онро ба ҳамаи қуллаҳо пайваст кунед. Чанд секунҷа ҳосил шуд? Бо ёрии секунҷаҳои ҳосилшуда теоремаро аввал барои панҷкунҷа ва шашкунҷа, баъд барои -кунҷа исбот кунед.
7. Теоремаи суммаи кунҷҳои берунӣ барои 12-кунҷаро исбот кунед.
★ Барои ҳавасмандон
8. Оё теоремаи суммаи кунҷҳои дохилиро бо ёрии нуқтаи дар беруни бисёркунҷа интихобшуда исбот кардан мумкин аст? Чӣ тавр?
Нуқтаи -ро дар беруни бисёркунҷаи барҷаста гиред ва ба ҳамаи қуллаҳо пайваст кунед. Секунҷаҳои ҳосилшуда бисёркунҷаро мепӯшонанд, аммо дубора ҳам. Фикр кунед: кадом секунҷаҳоро бояд аз ҳамаи секунҷаҳо тарҳ кард?
Машқҳои 4, 5, 6 ва 7. Ду исботи теоремаро (бо диагоналҳо аз як қулла ва бо нуқтаи ) дар дафтари хотира нависед.
Суммаи кунҷҳои чоркунҷа аст, чунки диагонал онро ба ду секунҷа тақсим мекунад. Агар панҷкунҷаро бо диагоналҳо ба секунҷаҳо тақсим кунем, чанд секунҷа мешавад? Суммаи кунҷҳои панҷкунҷаро бо ҳамин усул ёбед.
Суммаи кунҷҳои дохилии -кунҷаи барҷаста ба баробар аст.
Формулаи барои ҳар бисёркунҷа, ҳатто ғайрибарҷаста, дуруст аст. Исботи он душвортар аст: диагоналҳои аз як қулла баромада на ҳамеша дар дохил мехобанд. Мо онро барои бисёркунҷаи барҷаста исбот кардем.
Суммаи кунҷҳои берунии бисёркунҷаи барҷаста, ки дар ҳар қулла яктогӣ гирифта шудаанд, ба баробар аст.
Суммаи кунҷҳои дохилии бисёркунҷаи барҷаста аст. Он чанд кунҷ дорад?
Исботи теоремаи суммаи кунҷҳои бисёркунҷаро бо нуқтаи ба тартиб гузоред.
Пас суммаи кунҷҳои бисёркунҷа аст.
Дар дохили бисёркунҷаи барҷаста нуқтаи -ро мегирем ва онро ба ҳамаи қуллаҳо мепайвандем: секунҷа ҳосил мешавад.